Vamos supor que você está trabalhando em um projeto PHP e em algum momento você precisa de uma biblioteca para manipulação de strings. Para não reinventar a roda, você decide procurar alguma biblioteca pronta na internet. Você acha uma biblioteca X com os recursos que você precisa e então baixa ela para utilizar em seu projeto. Porém, ao rodar o projeto, descobre que a biblioteca X dependente da biblioteca Y. Sem escolha, você baixa a biblioteca Y e então descobre que ela depende da biblioteca Z; e assim por diante.

É neste inferno de dependências que entra o Composer para nos ajudar. O Composer é uma ferramenta para gerenciar dependências em um projeto PHP. Basta você definir quais bibliotecas que o seu projeto dependente e o Composer vai fazer o trabalho de baixar e atualizar elas e suas dependências.